Wartość bezwzględna z pewnej liczby, to nic innego, jak odległość tej liczby, na osi liczbowej, od zera.
Dla liczby 3, ta odległość wynosi 3, ale również dla liczby -3 odległość ta wynosi 3.
Tak więc mamy: |3|=3 oraz |-3|=3
Jeśli to rozumiesz, to możemy iść dalej 🙂
Przykład 1. Rozwiąż nierówność:
|x|<5
Odległość liczby x, na osi liczbowej od zera, musi być mniejsza niż 5. Zatem x<5 i x>-5. Czyli x∈(−5;5).
Oznacza to, że nierówność |x|<5 będzie prawdziwa, gdy w miejsce x wstawimy dowolną liczbę z przedziału (−5;5).
Przykład 2. Rozwiąż nierówność:
|x−3|<7
Podobnie jak w przykładzie 1 spełnione muszą być dwie nierówności:
x−3<7 oraz x−3>−7
Rozwiązanie pierwszej nierówności: x<7 +3 ⇒ x<10
Rozwiązanie drugiej nierówności: x>−7 +3 ⇒ x>−4
Muszą być spełnione jednocześnie dwa powyższe warunki, zatem x∈(−4;10).
Oznacza to, że nierówność |x−3|<7 będzie prawdziwa, gdy w miejsce x wstawimy dowolną liczbę z przedziału (−4;10).
Przykład 3. Rozwiąż nierówność:
|2x−5|≤3
W analogiczny sposób jak w przykładach 1 i 2 tworzymy dwie nierówności, które muszą być spełnione jednocześnie:
2x−5≤3 i 2x−5≥−3
Rozwiązanie pierwszej nierówności: 2x≤8 ⇒ x≤4
Rozwiązanie drugiej nierówności: 2x≥2 ⇒ x≥1
Muszą być spełnione jednocześnie dwa powyższe warunki, zatem x∈⟨1;4⟩.
Oznacza to, że nierówność |2x−5|≤3 będzie prawdziwa, gdy w miejsce x wstawimy dowolną liczbę z przedziału ⟨1;4⟩.
Przykład 4. Rozwiąż nierówność:
(|2x|−4):2≤5
Przekształcamy nierówność do postaci łatwiejszej:
(|2x|−4):2≤5 /⋅2 obie strony nierówności mnożymy przez 2
|2x|−4≤10 ⇒|2x|≤14
Rozwiązujemy ostatnią nierówność. Układamy dwie nierówności, które muszą być spełnione równocześnie:
2x≤14 i 2x≥−14
Rozwiązanie pierwszej nierówności: 2x≤14 /:2 ⇒ x≤7
Rozwiązanie drugiej nierówności: 2x≥−14 /:2 ⇒ x≥−7
Muszą być spełnione jednocześnie dwa powyższe warunki, zatem x∈⟨−7;7⟩.
Oznacza to, że nierówność (|2x|−4):2≤5 będzie prawdziwa, gdy w miejsce x wstawimy dowolną liczbę z przedziału ⟨-7;7⟩.
Przykład 5. Rozwiąż nierówność:
4−2⋅|x−4|>−10
Przekształcamy nierówność do łatwiejszej postaci:
4−2⋅|x−4|>−10 /−4 od obu stron nierówności odejmujemy liczbę 4
−2⋅|x−4|>−14
−2⋅|x−4|>−14 /:(−2) obie strony nierówności dzielimy przez liczbę ujemną zmieniając znak nierówności na przeciwny
|x−4|<7
Rozwiązujemy ostatnią nierówność z wartością bezwzględną. Analogicznie jak w poprzednich przykładach układamy dwie nierówności, bez wartości bezwzględnej, które muszą być spełnione równocześnie:
x−4<7 i x−4>−7
Rozwiązanie pierwszej nierówności: x−4<7 ⇒ x<11
Rozwiązanie drugiej nierówności: x−4>−7 ⇒ x>−3
Oznacza to, że aby była spełniona nierówność 4−2⋅|x−4|>−10 ,to x∈(−3;11).
Więcej przykładów i zadań rozwiążemy wspólnie na korepetycjach z matematyki.
Zapoznaj się z moją ofertą korepetycji z matematyki – Łódź Bałuty.
